Dalam janjang geometri, setiap sebutan ialah sebutan sebelumnya didarab dengan nombor r yang sama. Untuk mendapatkan r, bahagikan sebutan yang kemudian dengan yang terdahulu dan ambil punca yang sepadan dengan jarak antara keduanya. Berhati-hati dengan satu kes: jarak genap memberi dua tanda yang mungkin.
Pelajaran ini membina di atas mencari sebutan daripada dua syarat dan bersambung ke hasil tambah hingga ketakterhinggaan, yang bergantung sepenuhnya pada saiz r.
Bagaimana mendapatkan r daripada dua sebutan?
Sebutan ke-n ialah arn−1. Maka nisbah mana-mana dua sebutan membatalkan a:
(sebutan pada kedudukan q) ÷ (sebutan pada kedudukan p) = rq−p
Eksponen ialah jarak antara kedudukan. Ambil punca yang sepadan: punca kubik jika jaraknya tiga, punca kuasa dua jika jaraknya dua.
Bagaimana jika tiga sebutan berturutan diberi?
Jika tiga sebutan berturutan ialah p, q dan s, maka q ÷ p = s ÷ q, jadi q² = ps. Apabila sebutan mengandungi anu x, ini memberi persamaan dalam x. Selesaikannya, gantikan untuk mendapat sebutan, kemudian baca r.
Contoh berlangkah
Sebuah janjang geometri mempunyai sebutan ke-3 ialah 12 dan sebutan ke-6 ialah 96. Cari r, sebutan pertama dan sebutan ke-8.
Langkah 1, persamaan: ar2 = 12 dan ar5 = 96.
Langkah 2, bahagi: ar5 ÷ ar2 = 96 ÷ 12, maka r3 = 8 dan r = 2.
Langkah 3, cari a: a × 22 = 12, maka 4a = 12 dan a = 3.
Langkah 4, semak: sebutan ke-3 = 3 × 4 = 12. Sebutan ke-6 = 3 × 32 = 96. Kedua-duanya betul.
Langkah 5, jawapan: sebutan ke-8 ialah 3 × 27 = 3 × 128 = 384.
Jadi r = 2, a = 3 dan sebutan ke-8 ialah 384.
Kesilapan yang perlu diawasi
Punca kubik hanya mempunyai satu jawapan nyata, tetapi punca kuasa dua mempunyai dua. Kesilapannya ialah memberi punca positif sahaja apabila jaraknya genap.
Kerja yang salah: sebutan ke-2 ialah 12 dan sebutan ke-4 ialah 48. Maka r2 = 4, jadi r = 2 dan a = 6.
Nilai r = −2 juga memenuhi r2 = 4 tetapi tertinggal.
Pembetulannya ialah menulis r = ±2 dan menguji kedua-duanya.
Jika r = 2 maka a = 6, dan sebutannya ialah 6, 12, 24, 48. Jika r = −2 maka a = −6, dan sebutannya ialah −6, 12, −24, 48. Kedua-duanya mempunyai sebutan ke-2 ialah 12 dan sebutan ke-4 ialah 48, jadi kedua-duanya sah kecuali soalan menambah syarat seperti “semua sebutan positif”.
Semak diri anda
Cuba di atas kertas, kemudian buka setiap jawapan.
1. Sebuah janjang geometri mempunyai sebutan ke-2 ialah 10 dan sebutan ke-3 ialah 4. Cari r dan sebutan pertama.
Lihat jawapan
r = 4 ÷ 10 = 2/5. Kemudian a = 10 ÷ (2/5) = 10 × 5/2 = 25.
Semakan: 25, 10, 4 betul, kerana 25 × 2/5 = 10 dan 10 × 2/5 = 4. Jadi r = 2/5 dan a = 25.
2. Nombor x + 1, x + 4 dan x + 10 ialah sebutan berturutan bagi janjang geometri. Cari x dan nisbah sepunya.
Lihat jawapan
(x + 4)² = (x + 1)(x + 10), maka x² + 8x + 16 = x² + 11x + 10. Ini memberi 6 = 3x, jadi x = 2.
Sebutannya ialah 3, 6, 12, jadi r = 2. Semakan: 6 ÷ 3 = 2 dan 12 ÷ 6 = 2.
3. Sebuah janjang geometri dengan sebutan positif mempunyai sebutan ke-3 ialah 18 dan sebutan ke-5 ialah 8. Cari r dan sebutan pertama.
Lihat jawapan
r² = 8 ÷ 18 = 4/9, maka r = ±2/3. Sebutan positif memerlukan nisbah positif, jadi r = 2/3.
Kemudian a × 4/9 = 18 memberi a = 18 × 9/4 = 81/2 = 40.5. Semakan: 40.5, 27, 18, 12, 8 dan setiap langkah didarab dengan 2/3.
Langkah seterusnya
Dengan r di tangan, anda boleh menentukan sama ada siri geometri mempunyai jumlah terhingga dalam menggunakan hasil tambah tak terhingga hanya apabila syaratnya dipenuhi. Makmal jujukan dan siri membolehkan anda menukar r dan melihat kelakuan sebutan, termasuk apabila tanda berselang-seli.
Jika anda kerap terlupa r negatif apabila jarak genap, guru dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu dengan satu boleh menyemak langkah punca kuasa dua anda.