Selesaikan masalah gabungan sebutan dan hasil tambah

Masalah gabungan memberi dua fakta berasingan, biasanya satu sebutan dan satu hasil tambah, lalu meminta sesuatu di luar kedua-duanya. Kaedahnya ialah bentuk dua persamaan, selesaikan a dan d (atau r), kemudian gunakan hasilnya untuk menjawab soalan akhir, termasuk sebarang ketaksamaan tentang n.

Pelajaran ini menggabungkan semua pelajaran sebelumnya dalam siri aritmetik dan geometri, terutamanya mencari sebutan daripada dua syarat dan hasil tambah terhingga janjang aritmetik.

Bagaimana merancang soalan gabungan?

Sebelum menulis sebarang algebra, senaraikan apa yang anda tahu dan apa yang anda perlukan. Rancangan ringkas menyelamatkan anda daripada menyelesaikan anu yang tidak diperlukan.

1. Garis bawah setiap syarat dan labelkan sebagai sebutan atau hasil tambah.
2. Tulis persamaan yang sepadan: a + (n − 1)d untuk sebutan, n/2 (2a + (n − 1)d) untuk hasil tambah aritmetik.
3. Permudahkan kedua-duanya, kemudian gunakan yang lebih mudah untuk menggantikan ke dalam yang satu lagi.
4. Selesaikan dan semak kedua-dua syarat.
5. Gunakan a dan d untuk menjawab bahagian akhir, seperti sebutan kemudian atau nilai n terkecil.

Contoh berlangkah

Sebuah janjang aritmetik mempunyai sebutan ke-6 ialah 19 dan hasil tambah 10 sebutan pertama ialah 175. Cari a dan d, kemudian cari n terkecil supaya hasil tambah n sebutan pertama lebih besar daripada 1000.

Langkah 1, syarat sebutan: a + 5d = 19.

Langkah 2, syarat hasil tambah: 10/2 × (2a + 9d) = 175, maka 2a + 9d = 35.

Langkah 3, selesaikan: daripada yang pertama, a = 19 − 5d. Gantikan: 2(19 − 5d) + 9d = 35, maka 38 − d = 35 dan d = 3. Kemudian a = 19 − 15 = 4.

Langkah 4, semak: sebutannya ialah 4, 7, 10, 13, 16, 19, … jadi yang ke-6 ialah 19. Hasil tambah sepuluh sebutan ialah 5 × (8 + 27) = 175.

Langkah 5, hasil tambah dalam n: S_n = n/2 × (8 + 3(n − 1)) = n(3n + 5)/2.

Langkah 6, ketaksamaan: n(3n + 5)/2 > 1000 memberi 3n² + 5n − 2000 > 0. Pembeza tentu (discriminant) ialah 25 + 24000 = 24025 = 155², maka puncanya n = (−5 ± 155)/6, iaitu n = 25 dan satu nilai negatif.

Langkah 7, uji nombor bulat: S₂₅ = 25 × 80/2 = 1000, yang sama dan bukan lebih besar. S₂₆ = 26 × 83/2 = 1079. Jadi n terkecil ialah 26.

Jawapannya ialah a = 4, d = 3 dan n = 26.

Kesilapan yang perlu diawasi

Kesilapannya ialah berhenti pada punca kuadratik tanpa menguji ketaksamaan.

Kerja yang salah: punca ialah 25 dan satu nombor negatif, maka jawapannya n = 25.

Pada n = 25 hasil tambahnya tepat 1000. Soalan meminta hasil tambah lebih besar daripada 1000, jadi 25 tidak memenuhinya.

Pembetulannya ialah menggantikan nombor bulat di kedua-dua sisi punca ke dalam hasil tambah asal. Jika soalan berkata “sekurang-kurangnya 1000”, maka n = 25 betul. Membaca tanda dalam soalan ialah sebahagian daripada jawapan.

Semak diri anda

Cuba di atas kertas, kemudian buka setiap jawapan.

1. Sebuah janjang aritmetik mempunyai sebutan ke-3 ialah 10 dan hasil tambah 8 sebutan pertamanya ialah 104. Cari a dan d.

2. Sebuah siri geometri mempunyai sebutan pertama 4 dan hasil tambah hingga ketakterhinggaan 12. Cari sebutan ke-3.

3. Sebuah janjang aritmetik mempunyai sebutan pertama 5 dan beza sepunya 2. Cari bilangan sebutan terkecil supaya hasil tambah melebihi 500.

Langkah seterusnya

Uji seluruh modul dalam set latihan campuran, yang mengandungi masalah seperti ini. Makmal jujukan dan siri membantu anda meneroka perubahan hasil tambah dengan n, dan latihan pengiraan tanpa kalkulator menyokong aritmetik pada langkah akhir.

Jika anda sukar menentukan syarat mana perlu digunakan dahulu, guru dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu dengan satu boleh menyemak percubaan anda dan menunjukkan cara merancang laluan.