Konjektur ialah pernyataan tepat tentang peraturan yang sepadan dengan setiap kes yang anda lihat, ditulis supaya kes lain boleh membuktikannya salah. Untuk membentuknya, baca jadual anda untuk beza dan struktur, tulis peraturan dengan n, kemudian uji pada kes yang tidak anda gunakan.
Ini menyusuli penjanaan kes sistematik dan berada dalam penyiasatan International Mathematics. Teknik beza yang sama muncul dalam jujukan dan peraturan pola.
Bagaimana membaca jadual untuk mencari peraturan?
Dua tabiat membantu. Yang pertama ialah kaedah beza: tolak setiap nilai daripada nilai seterusnya. Yang kedua ialah kaedah struktur: terangkan, dengan perkataan atau gambar, bagaimana setiap kes dibina.
Beza pertama yang tetap bermakna peraturan itu linear, seperti 3n + 1. Jika beza pertama itu sendiri bertambah dengan jumlah tetap, peraturan itu melibatkan n². Penerangan berstruktur biasanya memberi peraturan yang sama bersama sebabnya.
Langkah demi langkah ke arah konjektur
- Jadualkan sekurang-kurangnya lima kes berturutan.
- Cari beza pertama, dan beza kedua jika perlu.
- Huraikan struktur setiap kes dalam satu ayat.
- Tulis peraturan calon menggunakan n, dan semak ia sepadan dengan setiap baris jadual.
- Nyatakan konjektur dalam ayat penuh, termasuk nilai n yang berkenaan.
- Ramal satu kes baharu, kemudian bina atau kira untuk menguji konjektur.
Contoh berlangkah
Dalam satu kumpulan n orang, setiap orang berjabat tangan sekali dengan setiap orang lain. Biarkan H ialah bilangan jabat tangan.
Langkah 1, jadual:
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| H | 0 | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 |
Langkah 2, beza: 1, 2, 3, 4, 5. Beza tidak tetap, jadi peraturan itu bukan linear. Ia bertambah 1 setiap kali.
Langkah 3, struktur: setiap orang berjabat tangan dengan n − 1 orang lain. Itu n × (n − 1) “hujung” jabat tangan, tetapi setiap jabat tangan mempunyai dua hujung dan telah dikira dua kali. Jadi H = n(n − 1)/2.
Langkah 4, semak jadual: bagi n = 4, 4 × 3 / 2 = 6. Bagi n = 6, 6 × 5 / 2 = 15. Kedua-duanya sepadan.
Langkah 5, konjektur: bagi setiap nombor bulat n ≥ 1, bilangan jabat tangan ialah n(n − 1)/2.
Langkah 6, kes baharu: bagi n = 7, formula memberi 7 × 6 / 2 = 21. Menggunakan pola beza, 15 + 6 = 21. Kiraan terus juga berfungsi: 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21. Tiga laluan sepadan, jadi konjektur itu telah melepasi ujian yang sebenar.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan yang lazim ialah membina peraturan daripada dua atau tiga kes pertama sahaja.
Konjektur yang salah: daripada n = 1 dan n = 2 (0 dan 1), “H = n − 1”.
Bagi n = 3 ini memberi 2, tetapi kiraan sebenar ialah 3.
Pembetulannya ialah mengumpul lebih banyak kes sebelum menulis peraturan, dan menguji peraturan terhadap kes yang tidak digunakan untuk mencipta peraturan itu. Di sini beza 1, 2, 3 menunjukkan pertumbuhan semakin laju, jadi peraturan dengan n − 1 sahaja tidak mungkin betul.
Semak kendiri
1. Hasil tambah n nombor ganjil pertama ialah 1, 4, 9, 16, 25 bagi n = 1 hingga 5. Nyatakan konjektur dan gunakannya untuk n = 8.
Lihat jawapan
Nilai-nilai itu ialah nombor kuasa dua sempurna, jadi konjekturnya ialah hasil tambah n nombor ganjil pertama ialah n².
Bagi n = 8, ia meramalkan 64. Semak: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64.
2. Satu pola mempunyai nilai 5, 8, 11, 14 bagi n = 1 hingga 4. Konjekturkan satu peraturan dan cari nilai bagi n = 20.
Lihat jawapan
Beza tetap 3, jadi peraturan bermula dengan 3n. Pada n = 1 kita perlukan 5, maka tambah 2: peraturannya ialah 3n + 2.
Bagi n = 20: 3 × 20 + 2 = 62.
3. Satu jadual memberi 2, 6, 12, 20 bagi n = 1 hingga 4. Konjekturkan satu peraturan dan ramal n = 5.
Lihat jawapan
Bezanya 4, 6, 8, jadi ia bertambah 2 dan peraturannya kuadratik. Nilai sama dengan n × (n + 1): 1 × 2, 2 × 3, 3 × 4, 4 × 5.
Peraturannya ialah n(n + 1), maka n = 5 memberi 30. Semak dengan beza: beza seterusnya 10, dan 20 + 10 = 30.
Ke mana selepas ini
Seterusnya, pelajari cara menguji contoh penyangkal bagi konjektur, kerana konjektur yang hanya bertemu kes yang setuju belum dicabar. Set latihan penyiasatan menggabungkan semua langkah.
Jika anda kerap nampak pola tetapi tidak dapat menulisnya dalam ayat yang jelas, guru boleh melatih pengungkapan itu langkah demi langkah dalam tuisyen Matematik dalam talian satu dengan satu. Pelatih kerja tanpa kalkulator membantu menyemak setiap nilai ramalan.