Untuk mengembangkan (a + b)ⁿ, tulis pekali binomial bagi kuasa n, kemudian beri setiap sebutan kuasa a yang menurun dan kuasa b yang menaik. Kemahiran ini muncul apabila soalan berbunyi “kembangkan” atau “cari tiga sebutan pertama”, dan menjadi asas kepada setiap pelajaran lain dalam kembangan binomial.
Bagaimanakah coraknya berfungsi?
Setiap sebutan berbentuk (pekali) × aⁿ⁻ʳ × bʳ, dengan r bergerak dari 0 hingga n. Kuasa a dan b sentiasa berjumlah n.
Bagi kuasa 4, pekalinya ialah 1, 4, 6, 4, 1. Ia datang daripada segi tiga Pascal, yang setiap nombornya ialah hasil tambah dua nombor di atasnya, atau daripada fungsi nCr pada kalkulator anda. Baris bagi kuasa n mempunyai n + 1 nombor dan jumlahnya ialah 2ⁿ.
Susun atur yang mengekalkan setiap sebutan di tempatnya
- Tulis pekali bagi kuasa itu dalam satu baris.
- Tulis bahagian pertama dengan kuasa menurun dari n ke 0, dan kekalkan dalam kurungan: (2x)⁴, (2x)³, (2x)², (2x)¹, (2x)⁰.
- Tulis bahagian kedua dengan kuasa menaik dari 0 ke n, juga dalam kurungan: 3⁰, 3¹, 3², 3³, 3⁴.
- Darabkan setiap lajur sambil meringkaskan nombor.
- Tambah sebutan dan semak hasilnya.
Contoh berlangkah
Kembangkan (2x + 3)⁴.
Langkah 1, pekali: 1, 4, 6, 4, 1.
Langkah 2, sebutan demi sebutan:
- 1 × (2x)⁴ × 3⁰ = 1 × 16x⁴ × 1 = 16x⁴
- 4 × (2x)³ × 3¹ = 4 × 8x³ × 3 = 96x³
- 6 × (2x)² × 3² = 6 × 4x² × 9 = 216x²
- 4 × (2x)¹ × 3³ = 4 × 2x × 27 = 216x
- 1 × (2x)⁰ × 3⁴ = 1 × 1 × 81 = 81
Langkah 3, tambah:
(2x + 3)⁴ = 16x⁴ + 96x³ + 216x² + 216x + 81
Langkah 4, semak dengan x = 1: sebelah kiri ialah 5⁴ = 625. Sebelah kanan ialah 16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625. Kedua-duanya sama.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan paling lazim ialah menaikkan x sahaja kepada kuasa, bukan seluruh bahagian pertama.
Penyelesaian yang salah: 4 × 2x³ × 3 = 24x³
Pelajar menulis 2x³ dan bukan (2x)³ = 8x³, jadi pekali x³ menjadi 24 dan bukannya 96.
Pembetulannya ialah mengekalkan setiap bahagian dalam kurungan sehingga ia diringkaskan. Tulis (2x)³ dahulu, kemudian 8x³. Semakan pada x = 1 akan mengesannya serta-merta, kerana jumlahnya akan jauh terlalu kecil.
Semak diri anda
Cuba soalan ini, kemudian buka setiap jawapan.
1. Kembangkan (x + 2)⁵.
Lihat jawapan
Pekali 1, 5, 10, 10, 5, 1. Sebutan: x⁵, 5 × x⁴ × 2 = 10x⁴, 10 × x³ × 4 = 40x³, 10 × x² × 8 = 80x², 5 × x × 16 = 80x, dan 2⁵ = 32.
x⁵ + 10x⁴ + 40x³ + 80x² + 80x + 32
Semak pada x = 1: 3⁵ = 243, dan 1 + 10 + 40 + 80 + 80 + 32 = 243.
2. Tulis baris pekali binomial bagi kuasa 6 dan tunjukkan jumlahnya 64.
Lihat jawapan
1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Jumlahnya ialah 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 2⁶.
3. Kembangkan (1 + 3x)³.
Lihat jawapan
Pekali 1, 3, 3, 1. Sebutan: 1, 3 × 3x = 9x, 3 × (3x)² = 3 × 9x² = 27x², dan (3x)³ = 27x³.
1 + 9x + 27x² + 27x³
Semak pada x = 1: 4³ = 64, dan 1 + 9 + 27 + 27 = 64.
Langkah seterusnya
Apabila kembangan penuh sudah mantap, pelajari cara mencari sebutan tertentu tanpa menulis semua sebutan. Selepas itu, menyemak kembangan dengan penggantian mudah memberi anda tabiat yang melindungi setiap jawapan. Latihan pengiraan tanpa kalkulator membantu anda mengira pekali ini dengan tepat.
Jika anda faham setiap baris tetapi hilang markah apabila susun atur bergantung pada ingatan, guru dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu dengan satu boleh menyemak susun atur anda. Guru akan menunjukkan di mana sebutan mula tersasar.