Linearisasi (linearisation) bermaksud menulis semula hubungan supaya dua kuantiti pilihan, panggil Y dan X, memenuhi Y = mX + c. Jika titik yang diplot terletak pada garis lurus, hubungan itu disahkan, dan kecerunan serta pintasan memberi pemalarnya.
Topik ini ialah sebahagian daripada garis lurus dan linearisasi. Itulah sebabnya soalan Additional Mathematics sering menyentuh kecerunan dan pintasan.
Bagaimana memutuskan apa yang diplot?
Bandingkan formula yang diberi dengan Y = mX + c dan padankan coraknya. Kuantiti yang didarab dengan pemalar di hadapan menjadi X, dan sebutan pemalar yang berdiri sendiri menjadi c. Anda mungkin perlu mendarab atau membahagi dahulu.
| Hubungan | Plot Y melawan X | Kecerunan | Pintasan |
|---|---|---|---|
| y = ax² + b | y melawan x² | a | b |
| y = a/x + b | y melawan 1/x | a | b |
| y = ax³ + b | y melawan x³ | a | b |
| y = ax + b/x | xy melawan x² | a | b |
Untuk baris terakhir, darab kedua-dua belah dengan x: xy = ax² + b. Hubungan seperti y = axn dan y = abx memerlukan logaritma, yang dibincangkan dalam melinearkan hubungan eksponen.
Contoh berlangkah
Data bagi y = px² + q dicatat dalam jadual ini.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| y | 7 | 13 | 23 | 37 |
Langkah 1, pilih paksi: plot y melawan x², jadi X = x².
Langkah 2, baris baharu: x² = 1, 4, 9, 16.
Langkah 3, semak ia lurus: kecerunan dari X = 1 ke 4 ialah (13 − 7) ÷ (4 − 1) = 2. Dari X = 4 ke 9 ialah (23 − 13) ÷ (9 − 4) = 2. Dari X = 9 ke 16 ialah (37 − 23) ÷ (16 − 9) = 2. Kecerunan malar, jadi titik terletak pada satu garis.
Langkah 4, pemalar: p = 2. Gantikan (1, 7): 7 = 2(1) + q, jadi q = 5.
Hasil: y = 2x² + 5. Semakan: pada x = 3, 2(9) + 5 = 23.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah mengira kecerunan dengan nilai x asal walaupun graf menggunakan x².
Kerja yang salah: menggunakan x = 2 dan x = 4, m = (37 − 13) ÷ (4 − 2) = 12
Pelajar menolak nilai x (2 dan 4) dan bukannya nilai X (4 dan 16).
Pembetulannya ialah menambah baris yang telah diubah ke dalam jadual dan membaca setiap kecerunan daripada baris itu sahaja. Dengan X = 4 dan 16, kecerunan ialah (37 − 13) ÷ (16 − 4) = 24 ÷ 12 = 2, selaras dengan jawapan yang betul.
Semak sendiri
1. Hubungannya ialah y = a/x + b. Nyatakan apa yang diplot pada setiap paksi, dan apa yang diwakili oleh kecerunan dan pintasan.
Tunjukkan jawapan
Plot y pada paksi mencancang dan 1/x pada paksi mengufuk. Kecerunan ialah a dan pintasan ialah b.
2. Data mengikut y = ax³ + b. Apabila x = 1, y = 3. Apabila x = 2, y = 17. Cari a dan b.
Tunjukkan jawapan
X = x³ memberi X = 1 dan X = 8. Kecerunan a = (17 − 3) ÷ (8 − 1) = 14 ÷ 7 = 2. Kemudian 3 = 2(1) + b, jadi b = 1.
a = 2, b = 1. Semakan: 2(8) + 1 = 17.
3. Bagi y = ax + b/x, graf xy melawan x² melalui (1, 9) dan (9, 17). Cari a dan b.
Tunjukkan jawapan
Kecerunan = (17 − 9) ÷ (9 − 1) = 8 ÷ 8 = 1, jadi a = 1. Pintasan: 9 = 1(1) + b, jadi b = 8.
a = 1, b = 8, maka y = x + 8/x. Semakan pada x = 3: xy = 9 + 8 = 17.
Ke mana selepas ini?
Apabila anda sudah boleh melinearkan, dapatkan pemalar model daripada kecerunan dan pintasan apabila hanya graf atau dua bacaan diberi. Pelatih kerja tanpa kalkulator berguna untuk melatih kecerunan pecahan yang tepat, dan set latihan mencampurkan bentuk-bentuk ini.
Jika anda tersekat memutuskan apa yang diplot pada setiap paksi, langkah itu mudah dilatih satu dengan satu. Guru kami melatihnya dalam tuisyen Additional Mathematics dalam talian satu dengan satu.