Untuk memfaktorkan x² + bx + c, cari dua integer yang hasil darabnya c dan hasil tambahnya b, kemudian tulis (x + p)(x + q). Mengembangkan jawapan mesti memberi semula kuadratik asal. Ini ialah laluan piawai untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dan meringkaskan pecahan algebra.
Ia dibina atas mengeluarkan faktor sepunya dan menyumbang kepada meringkaskan pecahan algebra.
Mengapa kaedah hasil tambah dan hasil darab berfungsi?
Kembangkan (x + p)(x + q) dan anda mendapat x² + px + qx + pq, iaitu x² + (p + q)x + pq. Jadi pekali tengah b ialah hasil tambah p + q, dan pemalar c ialah hasil darab pq.
Pemfaktoran ialah pengembangan yang sama dibaca secara terbalik. Anda mencari pasangan p dan q yang memenuhi kedua-dua syarat serentak.
Cara memfaktorkan, langkah demi langkah
- Keluarkan sebarang faktor sepunya dahulu.
- Tulis b dan c daripada x² + bx + c, termasuk tanda.
- Senaraikan pasangan faktor bagi c, termasuk tanda yang memberi hasil darab yang betul.
- Pilih pasangan yang hasil tambahnya b.
- Tulis (x + p)(x + q) dan kembangkan untuk menyemak.
Contoh berlangkah
Faktorkan x² + 2x − 15
Langkah 1, faktor sepunya: tiada selain 1.
Langkah 2, b dan c: b = +2 dan c = −15.
Langkah 3, pasangan faktor dengan hasil darab −15:
| Pasangan | Hasil tambah |
|---|---|
| 1 dan −15 | −14 |
| −1 dan 15 | 14 |
| 3 dan −5 | −2 |
| −3 dan 5 | 2 |
Langkah 4, pilih: pasangan −3 dan 5 mempunyai hasil tambah 2.
Langkah 5, jawapan:
(x − 3)(x + 5)
Semakan: kembangkan. x² + 5x − 3x − 15 = x² + 2x − 15. Ia sepadan dengan ungkapan asal.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah mengabaikan tanda b dan menggunakan pasangan yang hasil darabnya betul tetapi hasil tambahnya salah.
Jawapan yang salah: x² − 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
Pelajar mendapati 3 × 4 = 12 lalu berhenti. Tetapi (x + 3)(x + 4) mengembang kepada x² + 7x + 12, jadi sebutan tengah mempunyai tanda yang salah.
Pembetulannya ialah menyemak hasil tambah bersama tanda. Oleh sebab c = +12 positif, kedua-dua nombor berkongsi tanda, dan b = −7 negatif, jadi kedua-duanya negatif.
Pasangan −3 dan −4 mempunyai hasil darab 12 dan hasil tambah −7. Jadi jawapannya (x − 3)(x − 4).
Sentiasa kembangkan jawapan anda sekali. Ia mengambil beberapa saat dan menangkap kesilapan ini setiap kali.
Variasi dengan pekali pendahulu
Apabila pekali x² bukan 1, kaedah ini memerlukan sedikit pelarasan. Bagi 2x² + 7x + 3, darabkan a dan c untuk mendapat 6.
Cari dua nombor dengan hasil darab 6 dan hasil tambah 7 (iaitu 1 dan 6). Kemudian pecahkan sebutan tengah: 2x² + x + 6x + 3.
Kumpulkan sebagai x(2x + 1) + 3(2x + 1), yang memberi (2x + 1)(x + 3). Pengembangan menyemaknya: 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3.
Semak kendiri
Cuba soalan ini tanpa kalkulator, kemudian buka setiap jawapan.
1. Faktorkan x² + 7x + 10
Tunjukkan jawapan
Kedua-dua tanda positif. Pasangan dengan hasil darab 10: 1 dan 10 (hasil tambah 11), 2 dan 5 (hasil tambah 7).
(x + 2)(x + 5)
2. Faktorkan x² − 2x − 24
Tunjukkan jawapan
c negatif, jadi tanda berbeza. b ialah −2, jadi nombor yang lebih besar negatif. Pasangan 4 dan 6 memberi beza 2, jadi pasangannya ialah −6 dan +4.
(x − 6)(x + 4)
Semakan: x² + 4x − 6x − 24 = x² − 2x − 24.
3. Faktorkan x² − 49
Tunjukkan jawapan
Tulis sebagai x² + 0x − 49. Pasangan −7 dan 7 mempunyai hasil darab −49 dan hasil tambah 0.
(x − 7)(x + 7)
Ini dipanggil beza dua kuasa dua (difference of two squares).
Ke mana selepas ini?
Gunakan penjelajah struktur kuadratik untuk menguji pasangan faktor anda terhadap punca dan graf. Kemudian teruskan ke meringkaskan pecahan algebra dengan nilai yang dikecualikan, tempat faktor-faktor ini melakukan kerja. Pelatih kerja tanpa kalkulator berguna untuk aritmetik dalam pasangan faktor.
Murid sering memahami kaedah ini pada contoh yang mudah tetapi tersilap tanda pada soalan yang rumit. Dalam tuisyen Matematik dalam talian satu dengan satu, guru boleh menyemak tanda setiap pasangan bersama anda.