Sebelum menulis algebra, jawab tiga soalan: apa baris akhirnya, apa bentuk am yang merangkumi semua kes, dan langkah apa yang menghubungkan keduanya. Mengikuti bukti yang siap ialah membaca. Memulakannya ialah merancang, dan perancangan ada kaedahnya.
Halaman ini memberi kaedah itu dengan satu contoh, supaya baris pertama tidak lagi kosong.
Mengapa saya boleh mengikut tetapi tidak boleh memulakan?
Penyelesaian contoh hanya menunjukkan hasil perancangan selepas semuanya siap. Anda melihat n dan n + 1 muncul lalu menyangka penulis memang tahu cara menggunakannya. Hakikatnya penulis memilih huruf itu selepas melihat sasaran.
Jadi yang anda kurang bukan algebra, tetapi kemahiran bekerja ke belakang daripada ayat akhir untuk memutuskan apa yang ditulis dahulu.
Apakah tiga soalan itu?
- Sasaran. Tulis dengan tepat apa yang perlu ditunjukkan, dalam perkataan dan simbol. “Tunjukkan hasilnya ganjil” bermaksud baris akhir mesti berbentuk 2 × (sesuatu) + 1.
- Bentuk am. Pilih huruf yang merangkumi semua kes. “Dua integer berturutan” menjadi n dan n + 1. “Nombor ganjil” menjadi 2k + 1.
- Jambatan. Lakukan algebra, kemudian tulis semula hasilnya supaya berbentuk seperti soalan 1, dan nyatakan sebabnya.
Contoh berlangkah
Tunjukkan bahawa hasil tambah kuasa dua bagi dua integer berturutan sentiasa ganjil.
Sasaran. Ungkapan akhir mesti berbentuk 2 × (integer) + 1.
Bentuk am. Biar integer itu n dan n + 1, dengan n sebarang integer.
Jambatan. Hasil tambah kuasa dua ialah n² + (n + 1)² = n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n + 1.
Keluarkan faktor 2 daripada dua sebutan pertama: 2n² + 2n + 1 = 2(n² + n) + 1.
Oleh sebab n ialah integer, n² + n ialah integer, jadi ini ialah 2 × (integer) + 1, iaitu ganjil. Pernyataan itu terbukti untuk setiap integer n.
Semakan dengan nombor (bukan bukti): n = 3 memberi 9 + 16 = 25, dan 2(9 + 3) + 1 = 25. n = −2 memberi 4 + 1 = 5, dan 2(4 − 2) + 1 = 5. Kedua-duanya sepadan.
Apakah kesilapan yang lazim?
Pelajar mencuba 3 dan 4, mendapat 25, melihat ia ganjil, mencuba 5 dan 6, mendapat 61, lalu menulis “jadi ia sentiasa ganjil”. Ia kelihatan meyakinkan.
Ini salah kerana beberapa contoh tidak pernah merangkumi semua integer. Pernyataan boleh benar untuk seratus nombor dan gagal pada nombor seterusnya.
Pembetulannya ialah menggantikan nombor dengan n dan membiarkan algebra membawa semua kes serentak, seperti di atas. Gunakan nombor hanya sebagai semakan akhir, atau untuk mencari corak sebelum membuktikannya.
Cara lain untuk melihat permulaan
Kadangkala ungkapan itu sendiri ialah petunjuk. Jika anda perlu menunjukkan sesuatu kuantiti ialah gandaan 4, cari faktor 4. Jika anda perlu menunjukkan ia positif untuk setiap x nyata, cari kuasa dua sempurna, kerana kuasa dua tambah pemalar positif tidak boleh negatif.
Anda boleh meneroka bentuk ini dalam penjelajah struktur kuadratik.
Semakan kendiri
- Tunjukkan bahawa n² + n genap untuk setiap integer n.
- Tunjukkan bahawa (2n + 1)² − 1 ialah gandaan 8 untuk setiap integer n.
- Tunjukkan bahawa hasil tambah tiga integer berturutan ialah gandaan 3.
Tunjuk jawapan
- n² + n = n(n + 1). Satu daripada dua integer berturutan ialah genap, jadi hasil darabnya genap. (Jika n genap, n ialah faktor genap. Jika n ganjil, n + 1 ialah faktor genap.)
- (2n + 1)² − 1 = 4n² + 4n + 1 − 1 = 4n² + 4n = 4n(n + 1). Daripada soalan 1, n(n + 1) genap, jadi ia sama dengan 2m untuk suatu integer m. Maka ungkapan itu ialah 4 × 2m = 8m, gandaan 8.
- Ambil n − 1, n dan n + 1. Hasil tambahnya (n − 1) + n + (n + 1) = 3n, gandaan 3 kerana n ialah integer.
Bagaimana melatih tabiat ini?
Untuk setiap bukti, tulis sasaran dan bentuk am pada dua baris pertama sebelum sebarang algebra. Kemudian biarkan penyelesaian membawa anda kepada bentuk sasaran. Kemaskan aritmetik dengan pelatih kerja tanpa kalkulator apabila pecahan atau surd terlibat.
Idea bukti muncul dalam vektor di bukti vektor dua dimensi, misalnya menunjukkan titik segaris, dan dalam penaakulan lanjutan tanpa kalkulator, terutamanya pelajaran langkah bukti yang tidak boleh diberi kalkulator. Hab latihan asal Additional Mathematics menghimpunkan soalan untuk dicuba.
Jika anda masih tersekat pada baris pertama, tuisyen Additional Mathematics dalam talian satu dengan satu memberi anda guru yang boleh bertanya soalan perancangan semasa anda bekerja, dan berundur apabila anda belajar bertanya sendiri.